كيف احسب عدد الاحتمالات؟

يُعرّف الاحتمال (Probability) بأنه أداة رياضية لقياس فرصة وقوع حدث معين. يتم التعبير عنه دائماً برقم يتراوح بين 0 (حدث مستحيل) و 1 (حدث مؤكد). ولفهم “كيفية حساب الاحتمالات”، يجب أن تفرق بين شيئين:

1. حساب “قيمة” الاحتمال (مثل: فرصة 1/6).
2. حساب “عدد” النواتج الممكنة (مثل: كم طريقة يمكن أن تظهر بها أوراق اللعب؟).

هذا المقال يشرح لك الطريقتين ببساطة.

كيفية حساب “قيمة” الاحتمال

القاعدة الأساسية والأكثر شهرة لحساب احتمال وقوع أي حدث هي:

احتمال الحدث = (عدد النواتج المطلوبة “المواتية”) / (إجمالي عدد النواتج الممكنة)

P (A) = عدد النواتج التي نريدها \ إجمالي عدد النواتج الممكنة

أمثلة بسيطة:

• مثال 1: حجر النرد
  • ما هو احتمال ظهور الرقم 3 عند رمي حجر نرد (ذي 6 أوجه)؟
  • عدد النواتج المطلوبة (ظهور 3) = 1.
  • إجمالي عدد النواتج الممكنة (1, 2, 3, 4, 5, 6) = 6.
  • الاحتمال = 1 / 6 (أو 16.6%).
• مثال 2: سحب الكرات
  • صندوق يحتوي على 4 كرات حمراء، 3 زرقاء، 3 صفراء (الإجمالي 10 كرات).
  • ما هو احتمال سحب كرة زرقاء؟
  • عدد النواتج المطلوبة (زرقاء) = 3.
  • إجمالي عدد النواتج الممكنة (كل الكرات) = 10.
  • الاحتمال = 3 / 10 (أو 0.3).

كيف أحسب “إجمالي عدد النواتج”؟

في الأمثلة السابقة، كان من السهل عد “إجمالي النواتج” (6 أوجه، 10 كرات). ولكن ماذا لو كانت النواتج بالملايين؟ (مثل سحب اليانصيب أو ترتيب مجموعة أوراق).

هنا يأتي دور الإجابة على سؤال “كيف احسب عدد الاحتمالات”، ونستخدم لذلك: التباديل (Permutations) و التوافيق (Combinations).

1. التباديل (Permutations): عندما يكون الترتيب مهماً

نستخدم التباديل عندما يكون ترتيب اختيار العناصر مهماً.

• المعنى: “أحمد ثم محمد” يختلف عن “محمد ثم أحمد”.
• المثال الكلاسيكي: اختيار فائز بالمركز الأول والثاني والثالث. فوز (أحمد أولاً) يختلف عن فوزه (ثانياً).
• الصيغة (لحساب عدد التباديل): !P(n, k) = n! / (n – k)
  • حيث n = العدد الإجمالي للعناصر، و k = عدد العناصر التي نختارها.

2. التوافيق (Combinations): عندما يكون الترتيب غير مهم

نستخدم التوافيق عندما يكون ترتيب اختيار العناصر غير مهم.

• المعنى: “سلطة فواكه” فيها (تفاح وموز) هي نفسها (موز وتفاح).
• المثال الكلاسيكي: اختيار 3 أشخاص من 10 لتشكيل “لجنة”. لا يهم من اخترته أولاً.
• الصيغة (لحساب عدد التوافيق): !C(n, k) = n! / k! (n − k)

مثال تطبيقي (يانصيب): لحساب احتمال فوزك باليانصيب، يجب أولاً حساب “إجمالي عدد النواتج” باستخدام التوافيق (لأن ترتيب سحب الأرقام غير مهم)، ثم يصبح الاحتمال (1 / هذا العدد الضخم).

كيفية حساب الاحتمالات المركبة

في كثير من الأحيان، نريد حساب احتمال وقوع أكثر من حدث واحد (مثل رمي حجري نرد).

1. الأحداث المستقلة (Independent Events)

• التعريف: حدثان لا يؤثر وقوع أحدهما على الآخر.
• المثال: رمي قطعة نقدية مرتين. نتيجة الرمية الأولى لا تؤثر على الثانية.
• القاعدة (قاعدة الضرب “و”): لحساب احتمال وقوع الحدث A و الحدث B، نضرب الاحتمالين.

P(A and B) = P(A) × P(B)

• مثال: ما احتمال ظهور “صورة” مرتين؟
  • (1/2) * (1/2) = 1/4.

2. الأحداث المتنافية (Mutually Exclusive Events)

• التعريف: حدثان لا يمكن أن يقعا معاً في نفس الوقت.
• المثال: عند رمي حجر نرد واحد، لا يمكنك الحصول على (3) و (4) في نفس الوقت.
• القاعدة (قاعدة الجمع “أو”): لحساب احتمال وقوع الحدث A أو الحدث B، نجمع الاحتمالين.

P(A or B) = P(A) + P(B)

• مثال: ما احتمال ظهور (3) أو (4) عند رمي حجر نرد؟
  • (1/6) + (1/6) = 2/6 (أو 1/3).

3. الاحتمال الشرطي (Conditional Probability)

• التعريف: احتمال وقوع حدث A بشرط أو علماً بأن الحدث B قد وقع بالفعل.
• المثال: سحب أوراق اللعب بدون إرجاع.
• مثال: ما احتمال سحب ورقة (ملك) من مجموعة ورق، علماً بأن الورقة الأولى التي سحبتها (ولم ترجعها) كانت (ملك)؟
  • الاحتمال يتغير لأن “إجمالي عدد النواتج” قد تغير (أصبح 51 بدلاً من 52)، و “عدد النواتج المطلوبة” قد تغير (أصبح 3 بدلاً من 4).
• الصيغة: P(A|B) = P(A and B) / P(B)

أسئلة شائعة حول حساب الاحتمالات

(س1) ما هو احتمال الحدث المستحيل؟ هو صفر (0). مثال: احتمال ظهور الرقم 7 عند رمي حجر نرد عادي.

(س2) ما هو احتمال الحدث المؤكد؟ هو واحد (1). مثال: احتمال ظهور رقم (أقل من 7) عند رمي حجر نرد.

(س3) ما هي “الأحداث المتممة” (Complementary Events)؟ هو احتمال عدم وقوع الحدث. وهو يساوي (1 – احتمال وقوع الحدث).

• مثال: إذا كان احتمال هطول المطر 20% (0.2)، فإن احتمال عدم هطول المطر هو (1 – 0.2) = 80% (0.8).

(س4) ما الفرق باختصار بين التباديل والتوافيق؟ الترتيب.

• التباديل: الترتيب مهم (مثل كلمة مرور).
• التوافيق: الترتيب غير مهم (مثل اختيار فريق).