كيف احسب عدد الاحتمالات؟

تتنوع طرق حساب الاحتمالات بتنوع أنواعها، ولكل نوع طريقة حسابية محددة. فكيف يمكن لنا تحديد عدد الاحتمالات لكل نوع على حدة؟ وما هي الخطوات المتبعة في ذلك؟ وما هي القواعد الأساسية التي يجب اتباعها لإجراء هذه الحسابات بشكل صحيح؟ يتطلب فهم هذه العمليات الإلمام بمفاهيم رياضية وإحصائية دقيقة، بالإضافة إلى معرفة القوانين والنظريات التي تحكم عالم الاحتمالات.

ما هي الاحتمالات؟

تُعرّف الاحتمالات بأنها أداة رياضية تحسب احتمالية وقوع حدث ما، ويتم التعبير عنها بنسبة مئوية أو كسر أو رقم عشري يتراوح بين الصفر والواحد، حيث يشير الصفر إلى استحالة وقوع الحدث، بينما يشير الواحد إلى تأكيد وقوعه. وتستخدم الاحتمالات في مجموعة واسعة من التطبيقات الحياتية، بدءًا من التنبؤات الجوية وصولًا إلى التحليلات المالية.

كما تستخدم في مجالات مختلفة مثل العلوم، والتجارة، والتسويق، حيث تساعد في اتخاذ القرارات بناءً على تقييم المخاطر وتقدير النتائج المحتملة. ويُعتبر مفهوم الاحتمال من المفاهيم الأساسية في الإحصاء، حيث يعتمد عليه تحليل البيانات واستخلاص النتائج. كما أن الاحتمالات تلعب دورًا هامًا في تطوير نماذج التنبؤ، مما يساعد على فهم الظواهر المختلفة بشكل أفضل.

الفرق بين الاحتمال والاحتمالات

في عالم الرياضيات والإحصاء، نميز بين مفهومين أساسيين: الاحتمال والاحتمالات. على الرغم من أن الكلمتين قد تبدوان متشابهتين، إلا أنهما يحملان معانٍ مختلفة ويستخدمان في سياقات متنوعة.

الاحتمال: قياس فرصة وقوع حدث واحد

الاحتمال هو مقياس لفرصة وقوع حدث معين واحد من بين مجموعة من الأحداث المحتملة. يتم التعبير عنه عادةً كسر أو نسبة مئوية تتراوح بين 0 و 1، حيث يشير الصفر إلى استحالة وقوع الحدث، بينما يشير الواحد إلى أن الحدث مؤكد الوقوع.

مثال: احتمال ظهور الوجه ثلاثة عند رمي حجر نرد

لنفترض أننا نريد حساب احتمال ظهور الوجه ثلاثة عند رمي حجر نرد واحد. في هذه الحالة، الحدث الذي نهتم به هو ظهور الوجه ثلاثة. بما أن حجر النرد يحتوي على ستة أوجه مرقمة من 1 إلى 6، فإن إجمالي عدد النتائج المحتملة هو ستة.

لحساب الاحتمال، نقسم عدد النواتج المواتية (وهو في هذه الحالة ظهور الوجه ثلاثة، أي نتيجة واحدة) على إجمالي عدد النتائج المحتملة (وهو ستة). لذلك، فإن احتمال ظهور الوجه ثلاثة عند رمي حجر نرد واحد هو 1/6.

الاحتمالات: التعامل مع أكثر من حدث

بينما يركز الاحتمال على حدث واحد، تتعامل الاحتمالات مع وقوع أكثر من حدث في وقت واحد أو على التوالي. لحساب الاحتمالات، نستخدم قواعد رياضية محددة تعتمد على طبيعة الأحداث وعلاقتها ببعضها البعض.

مثال: احتمال ظهور وجهين ثلاثة عند رمي حجري نرد

لنفترض أننا نريد حساب احتمال ظهور وجهين ثلاثة عند رمي حجري نرد في وقت واحد. في هذه الحالة، لدينا حدثين: ظهور الوجه ثلاثة على حجر النرد الأول، وظهور الوجه ثلاثة على حجر النرد الثاني.

لحساب الاحتمالات، نحدد أولاً احتمال وقوع كل حدث على حدة. كما رأينا في المثال السابق، فإن احتمال ظهور الوجه ثلاثة على حجر نرد واحد هو 1/6.

بعد ذلك، نضرب احتمالي الحدثين ببعضهما البعض. لذلك، فإن احتمال ظهور وجهين ثلاثة عند رمي حجري نرد هو (1/6) * (1/6) = 1/36.

ما فائدة دراسة الاحتمالات؟

تُمكّننا دراسة الاحتمالات من فهم واستيعاب النتائج المحتملة لوقوع حدث ما، أو سلسلة من الأحداث، مما يساعدنا على اتخاذ قرارات مستنيرة. فعند تحليل حدث معين، نسعى لفهم جميع النتائج الممكنة وتحديد احتمالية وقوع كل نتيجة. يمكننا تصنيف الاحتمالات بشكل عام إلى قسمين رئيسيين: الاحتمالات المؤكدة، والتي تتراوح بين الصفر والواحد، حيث يعبر الصفر عن استحالة وقوع الحدث، بينما يشير الواحد إلى حدوثه بشكل مؤكد. أما الاحتمالات غير المؤكدة، فهي تلك التي تتراوح بين هذين الحدين، وتمثل احتمالية وقوع الحدث بدرجات متفاوتة.

لحساب الاحتمالات بدقة، يجب علينا فهم بعض المصطلحات الأساسية، مثل فضاء العينة، وهو مجموعة جميع النتائج المحتملة والمقترحة في التجربة، والحدث، الذي يمثل مجموعة جزئية من فضاء العينة. بعد ذلك، نقوم بحساب الاحتمال المطلوب عن طريق قسمة عدد الخيارات الممكنة للحدث على عدد عناصر فضاء العينة.

على سبيل المثال، إذا أردنا حساب احتمال ظهور رقم معين عند رمي حجر نرد، فإن فضاء العينة يتكون من ستة أرقام (من 1 إلى 6)، والحدث الذي نهتم به هو ظهور رقم معين، وليكن الرقم 3. لحساب هذا الاحتمال، نقسم عدد مرات ظهور الرقم 3 في فضاء العينة (مرة واحدة) على عدد عناصر فضاء العينة (ستة)، فيكون الاحتمال 1/6.

وبشكل عام، يمكن تطبيق مفهوم الاحتمالات في مختلف جوانب حياتنا، سواء في اتخاذ القرارات اليومية أو في التحليلات العلمية والاقتصادية. فعلى سبيل المثال، يمكننا استخدام الاحتمالات لتقدير فرص نجاح مشروع تجاري، أو لتوقع نتائج انتخابات، أو لتحليل المخاطر في الأسواق المالية. كما تستخدم الاحتمالات في مجالات متنوعة مثل الطب والهندسة وعلوم الحاسوب، مما يجعل فهمها ضروريًا لفهم العالم من حولنا واتخاذ قرارات مستنيرة.

المعادلات الرياضية للاحتمالات

تُعتبر الاحتمالات فرعاً من فروع الرياضيات الهامة، حيث تُمكّننا من تقدير إمكانية وقوع حدث ما أو مجموعة من الأحداث. يُمكن تعريف الاحتمال بأنه نسبة عدد النواتج المُحققة للحدث المرغوب فيه إلى إجمالي عدد النواتج المُمكنة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا صندوق يحتوي على 4 كرات حمراء و 3 كرات زرقاء و 3 كرات صفراء، فإن احتمال سحب كرة زرقاء عشوائياً يُحسب بقسمة عدد الكرات الزرقاء (3) على إجمالي عدد الكرات (10)، أي 3/10 أو 0.3.

رياضياً، يُمكن التعبير عن الاحتمال بالصيغة p(a) = n/r، حيث يُمثل p(a) الاحتمال، و n عدد النواتج المُمكنة، و r عدد النواتج المُحققة للحدث. من الجدير بالذكر أن الاحتمال دائماً قيمة موجبة تتراوح بين الصفر والواحد، حيث يُشير الصفر إلى استحالة وقوع الحدث، بينما يُشير الواحد إلى وقوع الحدث بشكل مؤكد.

أنواع الاحتمالات

للاحتمال ثلاثة أنواع، هي:

الاحتمال المنتظم:

يُعتبر الاحتمال المنتظم أحد المفاهيم الأساسية التي تشرح تساوي فرص وقوع جميع النواتج المحتملة في تجربة ما. يحدث هذا النوع من الاحتمالات عندما تكون جميع العناصر أو الأحداث في الظاهرة العشوائية متساوية الاحتمالية، أي أن لكل عنصر فرصة متساوية للظهور أو الوقوع.

لنأخذ مثالًا توضيحيًا على ذلك، وهو تجربة إلقاء حجر نرد منتظم. يحتوي حجر النرد على ستة أوجه مرقمة من 1 إلى 6، وعند إلقاء هذا الحجر، فإن الاحتمال المنتظم يقتضي بأن يكون لكل وجه من الأوجه الستة احتمال متساوٍ للظهور، وهو 1/6. هذا يعني أن فرصة الحصول على أي عدد من الأعداد الستة المكونة لحجر النرد (1، 2، 3، 4، 5، أو 6) هي نفسها تمامًا، ولا يوجد وجه لديه أفضلية على الآخر.

ويتم حساب هذا الاحتمال من خلال قسمة “احتمال وقوع الحدث” على “عدد النتائج المتوقعة للحدث”. ففي مثال حجر النرد، احتمال وقوع أي حدث (مثل الحصول على الرقم 3) هو 1 (لأنه يوجد وجه واحد فقط يحمل هذا الرقم)، وعدد النتائج المتوقعة هو 6 (لأن هناك ستة أوجه ممكنة). لذلك، فإن الاحتمال المنتظم لكل وجه هو 1/6.

تجدر الإشارة إلى أن الاحتمال المنتظم يلعب دورًا هامًا في العديد من المجالات، مثل الإحصاء، وعلوم الحاسوب، والتشفير، حيث يُستخدم في تحليل البيانات واتخاذ القرارات بناءً على توزيعات احتمالية متساوية. كما أنه يُعتبر مفهومًا أساسيًا في فهم الظواهر العشوائية وتوقع النتائج المحتملة بشكل دقيق.

الاحتمال الضمني أو الشخصي:

الاحتمال الضمني أو الشخصي هو نوع من الاحتمالات يعتمد على التجربة الشخصية للفرد وتقييمه الذاتي للأحداث، ويختلف من شخص لآخر بناءً على خبراتهم ومعرفتهم الفردية. يتم حساب هذا النوع من الاحتمالات باستخدام الطرق التجريبية، حيث يقوم الفرد بتحليل البيانات المتاحة وتقييم الاحتمالات بناءً على فهمه الشخصي.

يمكن أن يتغير هذا النوع من الاحتمالات مع مرور الوقت واكتساب الفرد المزيد من الخبرة والمعرفة. على سبيل المثال، قد يقدر شخص ما احتمال فوز فريق كرة قدم معين بنسبة 70٪ بناءً على تجربته السابقة مع الفريق، بينما قد يقدر شخص آخر نفس الاحتمال بنسبة 50٪ بناءً على معلومات مختلفة لديه.

الاحتمال التكراري النسبي:

الاحتمال التكراري النسبي هو نوع من الاحتمالات يعتمد على مجموعة من القواعد والأسس المتعلقة بنسبة حدوث حدث ما على المدى الطويل. يتم ذلك من خلال البدء بحساب عدد مرات وقوع الحدث في ظل ظروف ثابتة ومحددة، ثم تكرار هذه العملية لعدد كبير من المرات.

يتم بعد ذلك حساب النسبة بين عدد مرات وقوع الحدث وعدد المحاولات الكلية، وتعتبر هذه النسبة تقديرًا لاحتمالية وقوع الحدث على المدى الطويل. يعتمد هذا النوع من الاحتمالات على فكرة أن تكرار الحدث لعدد كبير من المرات سيؤدي إلى تقارب النسبة بين عدد مرات الوقوع وعدد المحاولات الكلية إلى قيمة ثابتة تمثل الاحتمالية الحقيقية للحدث.

كيفية حساب أنواع الاحتمالات الثلاثة بطريقة دقيقة

لفهم كيفية حساب الاحتمالات المختلفة، يجب أولاً التعرف على العمليات الحسابية الأساسية، وكيفية تطبيقها على أنواع الأحداث المختلفة.

أنواع الأحداث في علم الاحتمالات

1. الحدث المستحيل (∅): وهو الحدث الذي لا يمكن أن يقع بأي حال من الأحوال، أي لا يتضمن أي عنصر من عناصر التجربة. في هذه الحالة، يكون احتمال وقوع الحدث المستحيل مساوياً للصفر.

• مثال: في تجربة إلقاء حجر نرد منتظم، الحدث “ظهور العدد 7” هو حدث مستحيل، لأن حجر النرد لا يحتوي على الرقم 7.
• صيغة رياضية: P(∅) = 0

2. الحدثان المتنافيان: وهما حدثان لا يمكن أن يقعا معاً في نفس الوقت، أي لا يوجد بينهما أي عنصر مشترك. بمعنى آخر، تقاطع الحدثين يؤدي إلى الحدث المستحيل.

• مثال: في تجربة إلقاء قطعة نقدية، الحدث “ظهور صورة” والحدث “ظهور كتابة” هما حدثان متنافيان، لأنه لا يمكن أن يظهرا معاً في نفس الوقت.
• صيغة رياضية: A ∩ B = ∅، وبالتالي P(A ∩ B) = 0

3. الحدثان المتكاملان: وهما حدثان يشمل اجتماعهما جميع عناصر فضاء العينة (أي جميع النتائج الممكنة للتجربة)، وفي الوقت نفسه لا يوجد بينهما أي عنصر مشترك (أي هما حدثان متنافيان).

• مثال: في تجربة إلقاء حجر نرد، الحدث “ظهور عدد زوجي” والحدث “ظهور عدد فردي” هما حدثان متكاملان، لأنهما يشملان جميع الأرقام من 1 إلى 6، ولا يوجد بينهما أي رقم مشترك.
• صيغة رياضية: إذا كان A و B حدثين متنافيين، فإن P(A ∪ B) = P(A) + P(B) أما إذا لم يكن الحدثان متنافيين (أي يوجد بينهما عناصر مشتركة)، فإن صيغة الاحتمال تكون: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

4. الحدثان المستقلان: وهما حدثان لا يؤثر وقوع أحدهما على وقوع الآخر. بمعنى آخر، احتمال وقوع أي منهما لا يتغير بوقوع أو عدم وقوع الآخر.

• مثال: إذا قمنا بإلقاء قطعة نقدية مرتين، فإن نتيجة الرمية الأولى لا تؤثر على نتيجة الرمية الثانية.
• صيغة رياضية: P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

5. الاحتمال الشرطي: وهو احتمال وقوع حدث معين (A) بشرط وقوع حدث آخر (B). بمعنى آخر، هو احتمال وقوع A إذا علمنا أن B قد وقع بالفعل.

• صيغة رياضية: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) ويتم حساب الاحتمال الشرطي على مرحلتين:

• المرحلة الأولى: حساب الاحتمال الشرطي (A|B) باستخدام الصيغة أعلاه.
• المرحلة الثانية: تطبيق قانون الاحتمال الشرطي لحساب تقاطع الحدثين: P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)

أمثلة وتطبيقات

يمكن تطبيق هذه المفاهيم على مجموعة واسعة من الأمثلة والتطبيقات في الحياة اليومية، مثل:

• الألعاب: حساب احتمالات الفوز في ألعاب الحظ مثل البوكر والروليت.
• الطب: تقدير احتمالات الإصابة بأمراض معينة، وتقييم فعالية العلاجات.
• الاقتصاد: تحليل المخاطر الاستثمارية، والتنبؤ بتقلبات الأسواق المالية.
• الهندسة: تصميم أنظمة موثوقة، وتقييم احتمالات الأعطال.

خاتمة

فهم أنواع الاحتمالات المختلفة وكيفية حسابها هو أساسي لفهم الظواهر العشوائية واتخاذ قرارات مستنيرة في مختلف المجالات. يمكن أن تساعد هذه المفاهيم في تحليل البيانات، والتنبؤ بالمستقبل، وتقييم المخاطر، مما يجعلها أداة قوية في العديد من جوانب حياتنا.